これは医者からいっちゃいけないことですが、病院によっては本当に袖の下はあります。
私がいたブランド病院では当時後期研修医だった私に1年間で数十人以上から心付けをいただきました。
最高額はなんと50万円。持っている人はもっているのです。その人は初期研修医にも渡していましたし、麻酔科の先生にも渡していました（術後回診で渡そうとしたので違う先生がきてややこしいことになりかけました）
逆に公務員として働いている医者はこれをもらってしまうと収賄になります。その他大半の病院でも謝礼を辞退するように社内規則のようなものがあると思います。
つまり謝礼を受け取ってもらえるのはごく僅かな一般病院だけになります。
そして謝礼を渡すタイミングですが、術前に貰ってしまうと医師としては緊張してしまいます。それで悪い結果になるかもしれません。術後に渡すと単純にありがとうという意味になりますのでそれもいいかもしれませんが渡す側からすればメリットがあまりないかもしれません。
一番法にも触れず安全な方法は「病院や組織に寄付する」ですね。これなら堂々とできますし控除の対象にもなります。
まぁ確かにもらうと嬉しいのですが、構えてしまうのでデメリットもありますよということはお忘れなく。